Новости  Акты  Бланки  Договор  Документы  Правила сайта  Контакты
 Топ 10 сегодня Топ 10 сегодня 
  
11.11.2015

Метод эйлера пример

Численное решение дифференциальных уравнений 1. Задача Коши Формулировка задачи Коши для ДУ первого порядка: Дано ОДУ первого порядка, разрешенное относительно производной. Достаточные условия существования и единственности задачи Коши содержатся в следующей теореме. Пусть функция - правая часть ДУ 1 непрерывна вместе со своей частной производной в некоторой области D на плоскости. Тогда при любых начальных значениях задача Коши 1 2 имеет единственное решение. Данная формула позволяет, начиная от начального условиянайти последовательно величины с шагом h и, таким образом, решить задачу Коши. В точке получимточное решение. То есть метод Эйлера имеет довольно низкую точность, как и метод левых прямоугольников. Кутта второго порядка точности На равномерной сетке имеем формулу Рунге Кутта второго порядка точности: Кутта четвертого порядка точности Это наиболее распространенный метод решения задачи Коши. Вычислим интеграл в 3 по формуле Симпсона. Правило Рунге оценки погрешности В современных программах, реализующих методы Рунге Кутта, обязательно используется некоторый алгоритм автоматического изменения шага интегрирования. На участках плавного изменения решения счет можно вести с достаточно крупным шагом. На участках, где происходят резкие изменения поведения решения, необходимо выбирать более мелкий шаг интегрирования. Обычно начальное значение шага задает пользователь. Далее шаг интегрирования меняется в соответствии с величиной, получаемой в ходе вычислений оценки погрешности. Изменение шага для методов Рунге - Кутты сложности не представляет. Оценить погрешность достаточно сложно, так как простые способы оценки погрешности отсутствуют. Поскольку предельное значение погрешности для методов Рунге Кутта пропорционально величине k порядок точности метода или то здесь, как и в случае численного интегрирования методами Ньютона Котеса, возможно использование правила Рунге. Пусть- решение методом Рунге Кутта в точке ; с шагом 2 h;- решение в точке с шагом h, - точное решение в точке. Тогда погрешность Вывод формулы аналогичен выводу формулы для правила Рунге в методах численного интегрирования. Данная оценка достаточно грубая и тем точнее, чем выше порядок точности метода. Решение систем ОДУ первого порядка методом Рунге - Кутта Формулировка задачи Коши на сетке, : Численное решение задачи Коши состоит в том, что на сетке, требуется получить приближенные значениягде Условия существования и единственности решения данной задачи Коши такие жекак и для ОДУ первого порядка: Функции должны быть непрерывными вместе со своими частными производными, в некоторой области D в пространстве. На практике погрешность в точке оценивается по формуле Рунге, аналогичной выражению для одного уравнения. Численное решение задачи Коши для систем ОДУ 1 го порядка методами Рунге Кутта ищется по тем же формулам, что и для ОДУ первого порядка. Например, решение методом Рунге Кутта 4 го порядка можно найти, если положить: 7. Решение ОДУ высших порядков методом Рунге - Кутта Формулировка задачи Коши: Найти решение уравнения -го порядка, разрешённого относительно старшей производной. Решение систем ОДУ высших порядков методом Рунге - Кутта Задача Коши для систем ОДУ высших порядков преобразуется к задаче Коши для системы ОДУ первого порядка. Решить задачу Коши для системы двух ОДУ второго порядка 9. Многошаговые методы решения задачи Коши Методы Рунге - Кутта, в которых для нахождения значения функции в новой точке используется информация только об одной предыдущей точкеявлялись одношаговыми. Численные методы, в которых для нахождения значения функции в новой точке используется информация о нескольких предыдущих точкахназываются многошаговыми. Предположим, что с помощью какого-либо метода уже получена таблица значений: x 0x 1, x 2, …, x i ; y 0y 1, y 2, …, y i. Пусть шаг постоянен, т. Можно показать, что значение в точке x i+ 1: В качестве интерполяционного полинома можно взять, например, полином Лагранжа степени m. В зависимости от степени полинома мы получим различные методы решения ОДУ. Полином проходит через точки x i, x i 1: Данный метод является двухшаговым, поскольку использует информацию в двух предыдущих точках x i, x i 1. Полином строится в точках x i, x i 1x i 2, x i 3. В начале вычислений известна информация только в точке x 0, тогда как необходима информация еще в нескольких точках: x 1, x 2, …. Для решения проблемы начальных точек можно использовать, например, метод Рунге Кутта с малым шагом h. Существуют также неявные модификации методов Адамса. Они предназначены в первую очередь для решения жестких ОДУ.

  Комментарии к новости 
 Главная новость дня Главная новость дня 
У кота проблемы с глазами
Где потанцевать в самаре
Сэлдом самара каталог товаров
Акт списания масла моторного образец
Назовите виды сверлильных станков
Форбс список самых богатых людей мира
Основные документы государственного земельного кадастра
Реестр сертификатов гост р
Схемы ритмического рисунка колокольного звона
 
 Эксклюзив Эксклюзив 
Карта сайта
Расписание кино европа калининград
Шаурма энергетическая ценность
Филипс ксениум 5500 инструкция
Ринонорм капли инструкция
План урока по самопознанию в семейном кругу
Проект зсд на карте